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第6题

在三角形 ABCABC 的边 ABAB、BCBC、CACA 内部分别取点 MM、KK、LL。证明三个三角形 △AML\triangle AML、△KBM\triangle KBM、△LCK\triangle LCK 中至少有一个的面积小于或等于三角形 ABCABC 面积的四分之一。
第 6/7 步：应用一元二次式的普适上界
上一步下一步
通俗地说

抛物线 t(1−t)t(1-t) 在 t=12t=\frac12 处达到最大值,因此三个因子的乘积不可能超过 164\frac1{64}。

t(1−t)≤14 (0<t<1) ⟹ p(1−p)q(1−q)r(1−r)≤164t(1-t)\le\frac14\ (0<t<1)\ \Longrightarrow\ p(1-p)q(1-q)r(1-r)\le\frac1{64}
详细分析

当 0<t<10<t<1 时,由 (t−12)2≥0(t-\frac12)^2\ge0 得 t(1−t)≤14t(1-t)\le\frac14。分别取 t=p,q,rt=p,q,r,得到 p(1−p)q(1−q)r(1−r)≤(14)3=164p(1-p)q(1-q)r(1-r)\le(\frac14)^3=\frac1{64},这与第5步矛盾。