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竞赛
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国际数学奥林匹克
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1967年
›
第3题
第3题
设
k
,
m
,
n
k,m,n
k
,
m
,
n
为自然数,且
m
+
k
+
1
m+k+1
m
+
k
+
1
是大于
n
+
1
n+1
n
+
1
的素数。令
c
s
=
s
(
s
+
1
)
c_s=s(s+1)
c
s
=
s
(
s
+
1
)
。证明
(
c
m
+
1
−
c
k
)
(
c
m
+
2
−
c
k
)
⋯
(
c
m
+
n
−
c
k
)
(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)
(
c
m
+
1
−
c
k
)
(
c
m
+
2
−
c
k
)
⋯
(
c
m
+
n
−
c
k
)
能被
c
1
c
2
⋯
c
n
c_1c_2\cdots c_n
c
1
c
2
⋯
c
n
整除。
第 2/6 步：重写整个乘积
上一步
下一步
P
=
∏
i
=
1
n
(
c
m
+
i
−
c
k
)
=
(
∏
i
=
1
n
(
m
−
k
+
i
)
)
(
∏
i
=
1
n
(
m
+
k
+
i
+
1
)
)
P=\prod_{i=1}^n(c_{m+i}-c_k)=\left(\prod_{i=1}^n(m-k+i)\right)\left(\prod_{i=1}^n(m+k+i+1)\right)
P
=
i
=
1
∏
n
(
c
m
+
i
−
c
k
)
=
(
i
=
1
∏
n
(
m
−
k
+
i
)
)
(
i
=
1
∏
n
(
m
+
k
+
i
+
1
)
)
详细分析
取
a
=
m
+
i
a=m+i
a
=
m
+
i
,
b
=
k
b=k
b
=
k
应用分解,得到两个各含
n
n
n
个连续整数的块。
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