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第3题

设 k,m,nk,m,n 为自然数,且 m+k+1m+k+1 是大于 n+1n+1 的素数。令 cs=s(s+1)c_s=s(s+1)。证明 (cm+1−ck)(cm+2−ck)⋯(cm+n−ck)(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k) 能被 c1c2⋯cnc_1c_2\cdots c_n 整除。
第 3/6 步：处理第一块
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n!∣∏i=1n(m−k+i)n!\mid\prod_{i=1}^n(m-k+i)
详细分析

任意 nn 个连续整数的乘积都被 n!n! 整除(首项为负时也可用带符号的广义二项式系数说明)。