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第3题

设 k,m,nk,m,n 为自然数,且 m+k+1m+k+1 是大于 n+1n+1 的素数。令 cs=s(s+1)c_s=s(s+1)。证明 (cm+1−ck)(cm+2−ck)⋯(cm+n−ck)(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k) 能被 c1c2⋯cnc_1c_2\cdots c_n 整除。
第 4/6 步：引入素数
上一步下一步
p=m+k+1,B=∏i=1n(p+i),(p+nn+1)=p B(n+1)!p=m+k+1,\quad B=\prod_{i=1}^n(p+i),\quad \binom{p+n}{n+1}=p\,\frac{B}{(n+1)!}
详细分析

令 p=m+k+1p=m+k+1。第二块为 B=∏i=1n(p+i)B=\prod_{i=1}^n(p+i),上式由展开二项式系数得到。