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国际数学奥林匹克
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1967年
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第6题
第6题
一场体育竞赛在连续
n
n
n
天中共发放
m
m
m
枚奖牌（
n
>
1
n>1
n
>
1
）。第一天发放一枚及剩余
m
−
1
m-1
m
−
1
枚的
1
7
\frac17
7
1
；第二天发放两枚及当时剩余奖牌的
1
7
\frac17
7
1
；依此类推。第
n
n
n
天即最后一天发放剩余的
n
n
n
枚。求
m
m
m
和
n
n
n
。
第 3/6 步：反向求解
上一步
下一步
m
=
1
+
2
(
7
6
)
+
3
(
7
6
)
2
+
⋯
+
n
(
7
6
)
n
−
1
m=1+2\left(\frac76\right)+3\left(\frac76\right)^2+\cdots+n\left(\frac76\right)^{n-1}
m
=
1
+
2
(
6
7
)
+
3
(
6
7
)
2
+
⋯
+
n
(
6
7
)
n
−
1
详细分析
将递推改写为
m
r
=
r
+
7
6
m
r
+
1
m_r=r+\frac76m_{r+1}
m
r
=
r
+
6
7
m
r
+
1
。从
m
n
=
n
m_n=n
m
n
=
n
反向迭代即得上式。
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