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第1题

证明恰好存在一个三角形,其三边长为三个连续整数,且其中一个内角恰好是另一个内角的两倍。
第 1/6 步：设定角与边的记号
上一步下一步
通俗地说

想象在保持两个顶点处角度比为 2:12:1 的同时拉伸或压缩一个三角形;当形状连续变化时,各边长度之间的比例也随之变化。而“边长为连续整数”是一个非常刚性的离散条件,因此可以合理猜测,同时满足这两个条件的形状只有寥寥几种(也许只有一种)。

∠BAC=2α,∠ABC=α,BC=a, CA=b, AB=c\angle BAC = 2\alpha, \quad \angle ABC = \alpha, \quad BC=a,\ CA=b,\ AB=c
详细分析

设三角形 ABCABC 满足 ∠ABC=α\angle ABC = \alpha、∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha,并记 AA、BB、CC 的对边长度分别为 a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB。三边按某种顺序是三个连续正整数;目标是求出所有这样的三角形——其中一个角恰好是另一个角的两倍——并证明这样的三角形只有一个。