国际数学奥林匹克 · 1968年

试题

第1题证明恰好存在一个三角形,其三边长为三个连续整数,且其中一个内角恰好是另一个内角的两倍。解法: 1
第2题求所有满足如下条件的自然数 $x$ :其十进制表示中各数字之积等于 $x^2 - 10x - 22$ 。解法: 1
第3题考虑关于未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的如下方程组,其中 $a, b, c$ 为实数且 $a \neq 0$ : $ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1.$ 设 $\Delta=(b-1)^2-4ac$ 。证明:(a) 若 $\Delta<0$ ,该方程组无解;(b) 若 $\Delta=0$ ,该方程组恰有一个解;(c) 若 $\Delta>0$ ,该方程组有多于一个解。解法: 1
第4题证明:在每个四面体中,都存在一个顶点,使得交于该顶点的三条棱的长度恰好能作为一个三角形的三边。解法: 1
第5题设 $f$ 是定义在所有实数 $x$ 上的实值函数,并且对某个正常数 $a$ ,对所有 $x$ 都满足 $f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}$ 。(a)证明 $f$ 是周期函数。(b)当 $a=1$ 时,给出一个满足条件的非常数函数例子。解法: 1
第6题记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数。若 $n$ 为正整数,求 $[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots$ 关于 $n$ 的表达式。解法: 1