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第1题

证明恰好存在一个三角形,其三边长为三个连续整数,且其中一个内角恰好是另一个内角的两倍。
第 2/6 步：正弦定理给出 cos α = a/(2b)
上一步下一步
通俗地说

这个关系式清晰地把角度条件 ∠A=2∠B\angle A = 2\angle B 与边长联系起来:它表明较小角的余弦完全由两条边的比值决定,不涉及其他未知量。

bsin⁡α=asin⁡2α  ⟹  cos⁡α=a2b\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin 2\alpha} \;\Longrightarrow\; \cos\alpha=\frac{a}{2b}
详细分析

由正弦定理,bsin⁡α=asin⁡2α\dfrac{b}{\sin\alpha}=\dfrac{a}{\sin2\alpha}。因为 sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,上式化简为 sin⁡2αsin⁡α=2cos⁡α=ab\dfrac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha=\dfrac{a}{b},于是 cos⁡α=a2b\cos\alpha=\dfrac{a}{2b}。