MathLabs

第1题

证明恰好存在一个三角形,其三边长为三个连续整数,且其中一个内角恰好是另一个内角的两倍。
第 3/6 步：余弦定理给出关键恒等式
上一步下一步
通俗地说

至此三角函数已完成使命,可以舍弃:关于角度条件的所有重要信息都被压缩成一个关于整数 a,b,ca,b,c 的多项式方程,而这正是可以用整除性论证来处理的形式。

cos⁡α=a2+c2−b22ac=a2b  ⟹  a2c=b(a2+c2−b2)\cos\alpha=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a}{2b} \;\Longrightarrow\; a^2c=b(a^2+c^2-b^2)
详细分析

在顶点 BB 处应用余弦定理得到 cos⁡α=a2+c2−b22ac\cos\alpha=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}。令其与第2步中的 a2b\dfrac{a}{2b} 相等并去分母,便得到只涉及三边长度的恒等式 a2c=b(a2+c2−b2)a^2c=b(a^2+c^2-b^2)。