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第1题

证明恰好存在一个三角形,其三边长为三个连续整数,且其中一个内角恰好是另一个内角的两倍。
第 4/6 步：b 必须整除 a²c,因此 b 不可能是中间那个数
上一步下一步
通俗地说

这是关键的筛选步骤:与其检查全部 3!=63!=6 种关于哪条边是 aa、bb、cc 的排列,相邻整数间的互质性立刻排除了一半的情形,只剩下两种配置需要手动检验。

b∣a2c,a<b<c or c<b<a ⟹ gcd⁡(b,a)=gcd⁡(b,c)=1b \mid a^2c, \qquad a<b<c\ \text{or}\ c<b<a\ \Longrightarrow\ \gcd(b,a)=\gcd(b,c)=1
详细分析

由于 a,b,ca,b,c 都是正整数,恒等式 a2c=b(a2+c2−b2)a^2c=b(a^2+c^2-b^2) 表明 b∣a2cb\mid a^2c。若 bb 严格介于 aa 与 cc 之间(即三个连续整数中居中的那个),则 bb 与其两个相邻数 aa、cc 都互质(相邻整数总是互质的),于是除非 b=1b=1,否则 bb 不可能整除 a2ca^2c,而这在非退化三角形中是不可能的。因此 bb 必须是这三个连续整数中最小或最大的那一个。