第1题

设 $b$ 是三个连续整数中最小的,即 $\{a,c\}=\{b+1,b+2\}$ 按某种顺序排列。若较大的相邻数 $b+2$ 充当 $a$,则 $b\mid a^2c$ 变为 $b\mid(b+2)^2$,又因 $b\mid(b+2)^2-b^2-4b=4$,故 $b\in\{1,2,4\}$;直接检验 $b=1$(退化)与 $b=2$(此时 $a,c=3,4$,不满足恒等式),只剩 $b=4$ 成立,此时 $a^2c=b(a^2+c^2-b^2)=180$,从而 $a=6$、$c=5$:即边长为 $4,5,6$ 的三角形。若改由 $b+2$ 充当 $c$,同样的论证 $b\mid b+2$ 迫使 $b\in\{1,2\}$,这两种情形均已被排除,故此子情形不产生新的解。