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第2题

求所有满足如下条件的自然数 xx:其十进制表示中各数字之积等于 x2−10x−22x^2 - 10x - 22。
第 1/5 步：数字之积不会超过 x
上一步下一步
通俗地说

在首位数字之后每多加一位,数字之积至多只能乘以 99,而 xx 本身却大约乘以 1010;因此对于位数超过一位的数,数字之积会很快远远落后于 xx。

x=d1d2⋯dn‾  ⟹  d1d2⋯dn≤d1⋅10n−1≤xx=\overline{d_1d_2\cdots d_n} \;\Longrightarrow\; d_1d_2\cdots d_n \le d_1\cdot 10^{n-1} \le x
详细分析

把 xx 的十进制展开写成 d1d2⋯dnd_1d_2\cdots d_n,其中 d1≥1d_1\ge1。由于每个数字都不超过 9<109<10,积满足 d1d2⋯dn≤d1⋅10n−1d_1d_2\cdots d_n\le d_1\cdot10^{n-1},又因 d1d_1 是最高位数字,故 x≥d1⋅10n−1x\ge d_1\cdot10^{n-1}。因此数字之积总是不超过 xx,只有当 xx 是一位数时才取等号。