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第2题

求所有满足如下条件的自然数 xx:其十进制表示中各数字之积等于 x2−10x−22x^2 - 10x - 22。
第 2/5 步：方程迫使 x ≤ 12
上一步下一步
通俗地说

这是处理“快速增长的二次项”与“缓慢增长且有界的量”混合方程的标准手法:把界限转化为不等式,无穷的搜索便坍缩成一张有限、可逐一检验的清单。

x2−10x−22≤x  ⟹  x2−11x−22≤0  ⟹  1≤x≤12x^2-10x-22 \le x \;\Longrightarrow\; x^2-11x-22\le 0 \;\Longrightarrow\; 1\le x\le 12
详细分析

若 xx 满足题目方程,其数字之积等于 x2−10x−22x^2-10x-22,由第1步该积不超过 xx。于是 x2−10x−22≤xx^2-10x-22\le x,即 x2−11x−22≤0x^2-11x-22\le0。二次式 t2−11t−22t^2-11t-22 的根为 11±2092\dfrac{11\pm\sqrt{209}}{2},而 209≈14.46\sqrt{209}\approx14.46,故该不等式恰好在 11−2092≤x≤11+2092≈12.73\dfrac{11-\sqrt{209}}{2}\le x\le\dfrac{11+\sqrt{209}}{2}\approx12.73 范围内成立。由于 xx 是自然数,只需检验 x∈{1,2,…,12}x\in\{1,2,\dots,12\}。