MathLabs

第3题

考虑关于未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 的如下方程组,其中 a,b,ca, b, c 为实数且 a≠0a \neq 0:ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. 设 Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac。证明:(a) 若 Δ<0\Delta<0,该方程组无解;(b) 若 Δ=0\Delta=0,该方程组恰有一个解;(c) 若 Δ>0\Delta>0,该方程组有多于一个解。
第 1/5 步：把全部 n 个方程相加,得到一个单一的求和条件
上一步下一步
通俗地说

把一条循环链上的方程相加是一个经典技巧:每个 xix_i 在左边(处于二次式内)出现一次,在右边(线性地)出现一次,而循环移位保证右边的和只是同一批变量的重新排列,因此可以与左边的一部分相消。

s(t):=at2+(b−1)t+c  ⟹  ∑i=1ns(xi)=∑i=1n(axi2+(b−1)xi+c)=0s(t):=at^2+(b-1)t+c \;\Longrightarrow\; \sum_{i=1}^n s(x_i)=\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+(b-1)x_i+c\bigr)=0
详细分析

把方程组的每个方程写出来,再把全部 nn 个方程相加:∑i=1n(axi2+bxi+c)=∑i=1nxi+1=∑i=1nxi\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+bx_i+c\bigr)=\sum_{i=1}^n x_{i+1}=\sum_{i=1}^n x_i(下标是循环移动的,但覆盖的仍是同一组项)。把右边的和移到左边,得到 ∑i=1n(axi2+(b−1)xi+c)=0\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+(b-1)x_i+c\bigr)=0。定义 s(t)=at2+(b−1)t+cs(t)=at^2+(b-1)t+c,这恰好就是 ∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0。