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第3题

考虑关于未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 的如下方程组,其中 a,b,ca, b, c 为实数且 a≠0a \neq 0:ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. 设 Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac。证明:(a) 若 Δ<0\Delta<0,该方程组无解;(b) 若 Δ=0\Delta=0,该方程组恰有一个解;(c) 若 Δ>0\Delta>0,该方程组有多于一个解。
第 2/5 步：Δ 恰好就是 s 的判别式
上一步下一步
s(t):=at2+(b−1)t+c,Δ=(b−1)2−4acs(t):=at^2+(b-1)t+c,\qquad \Delta=(b-1)^2-4ac
辅助抛物线 s(t) = t² − t − 2,取 a = 1、b = 0、c = −2、Δ = 9 > 0 的示例,在 t = −1 与 t = 2 处与横轴相交
一条开口向上的抛物线 s(t) = t 的平方减去 t 再减去 2,在 t = -1 和 t = 2 处与横轴相交,在这两个根之间为负,在外部为正。
详细分析

二次式 s(t)=at2+(b−1)t+cs(t)=at^2+(b-1)t+c 的判别式为 (b−1)2−4ac(b-1)^2-4ac,恰好就是题目给出的 Δ\Delta。由于 a≠0a\neq0,Δ\Delta 的符号完全决定了 ss 的实根个数:Δ<0\Delta<0 时无实根,Δ=0\Delta=0 时有一个重根,Δ>0\Delta>0 时有两个实根。在任意两个实根之间(若无实根则在整个数轴上),ss 保持恒定的符号。