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第3题

考虑关于未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 的如下方程组,其中 a,b,ca, b, c 为实数且 a≠0a \neq 0:ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. 设 Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac。证明:(a) 若 Δ<0\Delta<0,该方程组无解;(b) 若 Δ=0\Delta=0,该方程组恰有一个解;(c) 若 Δ>0\Delta>0,该方程组有多于一个解。
第 3/5 步：Δ < 0 情形:无解
上一步下一步
通俗地说

这是一个干净利落的符号论证:一个完全由同号非零数构成的和,无论如何选取 xix_i,都绝不可能坍缩为零。

Δ<0  ⟹  s(t)≠0 ∀t  ⟹  s(xi) all same sign  ⟹  ∑i=1ns(xi)≠0\Delta<0 \;\Longrightarrow\; s(t)\neq0 \ \forall t \;\Longrightarrow\; s(x_i) \text{ all same sign} \;\Longrightarrow\; \sum_{i=1}^n s(x_i)\neq0
详细分析

若 Δ<0\Delta<0,则二次式 ss 没有实根,所以 s(t)s(t) 永不为零并且对所有实数 tt 与 aa 同号。每个 s(xi)s(x_i) 都同号,因此和 ∑i=1ns(xi)\sum_{i=1}^n s(x_i) 非零。这与 ∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0 矛盾,所以不存在实数解 (x1,…,xn)(x_1,\ldots,x_n)。