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第3题

考虑关于未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 的如下方程组,其中 a,b,ca, b, c 为实数且 a≠0a \neq 0:ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. 设 Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac。证明:(a) 若 Δ<0\Delta<0,该方程组无解;(b) 若 Δ=0\Delta=0,该方程组恰有一个解;(c) 若 Δ>0\Delta>0,该方程组有多于一个解。
第 4/5 步：Δ = 0 情形:恰有一个解
上一步下一步
通俗地说

重根是“不变号”与“真正变号”之间的临界情形:抛物线只是恰好触碰到零,因此前一情形中“同号求和”的论证在几乎所有地方仍然适用,唯有那唯一的相切点例外,而正是它精确地确定了那个唯一的常数解。

Δ=0  ⟹  s(t)=a(t−r)2, s(t) same sign as a except s(r)=0  ⟹  x1=⋯=xn=r\Delta=0 \;\Longrightarrow\; s(t)=a(t-r)^2,\ s(t)\ \text{same sign as } a \text{ except } s(r)=0 \;\Longrightarrow\; x_1=\cdots=x_n=r
详细分析

若 Δ=0\Delta=0,二次式可分解为 s(t)=a(t−r)2s(t)=a(t-r)^2,其中 rr 是唯一的根,因此对所有 t≠rt\neq r,s(t)s(t) 与 aa 同号,且 s(r)=0s(r)=0。由第1步,∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0;由于每一项 s(xi)s(x_i) 要么为零(当 xi=rx_i=r 时),要么带有 aa 的固定符号(当 xi≠rx_i\neq r 时),要使该和为零的唯一方式是每一项都为零,即对所有 ii 都有 xi=rx_i=r。反过来,(r,…,r)(r,\ldots,r) 确实满足方程组,因为 s(r)=0s(r)=0 意味着 ar2+br+c=rar^2+br+c=r。所以方程组恰有一个解 (r,r,…,r)(r,r,\ldots,r)。