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第3题

考虑关于未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 的如下方程组,其中 a,b,ca, b, c 为实数且 a≠0a \neq 0:ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. 设 Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac。证明:(a) 若 Δ<0\Delta<0,该方程组无解;(b) 若 Δ=0\Delta=0,该方程组恰有一个解;(c) 若 Δ>0\Delta>0,该方程组有多于一个解。
第 5/5 步：Δ > 0 情形:多于一个解
上一步下一步
通俗地说

辅助二次式的两个根不费吹灰之力就给出了两个独立的“全相等”解;题目只要求解多于一个,因此完全不需要去寻找非常数解——尽管一般而言可能还存在更多的解。

Δ>0  ⟹  s(r1)=s(r2)=0, r1≠r2  ⟹  (r1,…,r1) and (r2,…,r2) both solve the system\Delta>0 \;\Longrightarrow\; s(r_1)=s(r_2)=0,\ r_1\neq r_2 \;\Longrightarrow\; (r_1,\ldots,r_1) \text{ and } (r_2,\ldots,r_2) \text{ both solve the system}
详细分析

若 Δ>0\Delta>0,二次式 ss 有两个不同的实根 r1≠r2r_1\neq r_2,故 s(r1)=s(r2)=0s(r_1)=s(r_2)=0,即 ar12+br1+c=r1ar_1^2+br_1+c=r_1 及 ar22+br2+c=r2ar_2^2+br_2+c=r_2。对所有 ii 取 xi=r1x_i=r_1,满足循环方程组的每一个方程,因为每个方程都化为 ar12+br1+c=r1ar_1^2+br_1+c=r_1;同样,对所有 ii 取 xi=r2x_i=r_2 也满足整个方程组。这就得到两个确实不同的常数解 (r1,…,r1)≠(r2,…,r2)(r_1,\ldots,r_1)\neq(r_2,\ldots,r_2),因此方程组的解多于一个。