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第4题

证明:在每个四面体中,都存在一个顶点,使得交于该顶点的三条棱的长度恰好能作为一个三角形的三边。
第 3/4 步：另一个面迫使 c + e > a
上一步下一步
通俗地说

来自两个面的严格不等式通过单调性结合起来:把 bb 换成更长的棱 ee,与 cc 配对的和只会增大,从而把失败的候选变成成功的候选。

b+c>a,e>b  ⟹  c+e>b+c>ab+c>a,\qquad e>b \;\Longrightarrow\; c+e>b+c>a
详细分析

原来含有 a,b,ca,b,c 的面是一个非退化三角形,所以 b+c>ab+c>a。由第2步 e>be>b。因此 c+e>c+b>ac+e>c+b>a。于是三条棱 a,c,ea,c,e 中最长者 aa 小于另外两条之和;又因为 aa 是全局最长棱,其余两个不等式 a+c>ea+c>e 和 a+e>ca+e>c 自动成立。