第4题

证明:在每个四面体中,都存在一个顶点,使得交于该顶点的三条棱的长度恰好能作为一个三角形的三边。

第 4/4 步：两个顶点中必有一个满足条件

通俗地说

证明是一个双向陷阱:要么第一个顶点立即满足条件,要么它的失败恰好提供使第二个顶点满足条件所需的比较。

b+f>a \Longrightarrow\triangle(a,b,f),\qquad b+f\le a \Longrightarrow\ c+e>a \Longrightarrow\triangle(a,c,e)

详细分析

只有两种情形。若 $b+f>a$ ,则三条棱 $a,b,f$ 满足全部三角不等式并交于一个顶点。若 $b+f\le a$ ,由第2–3步得 $c+e>a$ ,而三条棱 $a,c,e$ 满足全部三角不等式并交于另一个顶点。无论哪种情形,四面体中都存在一个顶点,使其三条相邻棱的长度成为三角形的三边,命题得证。