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第5题

设 ff 是定义在所有实数 xx 上的实值函数,并且对某个正常数 aa,对所有 xx 都满足 f(x+a)=12+f(x)−f(x)2f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}。(a)证明 ff 是周期函数。(b)当 a=1a=1 时,给出一个满足条件的非常数函数例子。
第 1/5 步：方程迫使 f 至少为二分之一
上一步下一步
通俗地说

这个递推从不输出小于 12\frac12 的值:它从 12\frac12 开始再加上一个非负量。由于每个实数自变量都能写成 x+ax+a,这个单侧界限适用于整个定义域,而不只是函数的某个平移副本。

f(x+a)=12+f(x)−f(x)2≥12f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\ge\frac12
详细分析

平方根非负,所以定义方程给出 f(x+a)=12+f(x)−f(x)2≥12f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}\ge\frac12。由于当 xx 遍历所有实数时 x+ax+a 也遍历所有实数,故对每个实数 yy 都有 f(y)≥12f(y)\ge\frac12。特别地,ff 的每个取值都处在下一步平方根变形所需的范围内。