平方根产生绝对值,但第1步得到的全局下界确定了它的符号。应用一次会经过一个非线性映射;应用两次却成为恒等映射,这正是周期为 2a2a2a 的周期性。
在原方程中用 x+ax+ax+a 替换 xxx。由第2步,f(x+a)−f(x+a)2=(12−f(x))2f(x+a)-f(x+a)^2=(\frac12-f(x))^2f(x+a)−f(x+a)2=(21−f(x))2,故 f(x+2a)=12+(12−f(x))2=12+∣f(x)−12∣f(x+2a)=\frac12+\sqrt{(\frac12-f(x))^2}=\frac12+\left|f(x)-\frac12\right|f(x+2a)=21+(21−f(x))2=21+f(x)−21。由第1步 f(x)≥12f(x)\ge\frac12f(x)≥21,所以绝对值等于 f(x)−12f(x)-\frac12f(x)−21,从而对所有 xxx 都有 f(x+2a)=f(x)f(x+2a)=f(x)f(x+2a)=f(x)。