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第5题

设 ff 是定义在所有实数 xx 上的实值函数,并且对某个正常数 aa,对所有 xx 都满足 f(x+a)=12+f(x)−f(x)2f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}。(a)证明 ff 是周期函数。(b)当 a=1a=1 时,给出一个满足条件的非常数函数例子。
第 4/5 步：定义 a = 1 时的非常数例子
上一步下一步
通俗地说

这个构造像一个两状态时钟:一个单位区间上的值为 11,下一个区间上的值为 12\frac12,然后重复该模式。递推把 11 映到 12\frac12,把 12\frac12 映到 11,所以平移一个区间恰好执行所需的状态交换。

f(x)={1,2n≤x<2n+1,12,2n+1≤x<2n+2,n∈Zf(x)=\begin{cases}1,&2n\le x<2n+1,\\[2pt]\frac12,&2n+1\le x<2n+2,\end{cases}\qquad n\in\mathbb Z
详细分析

当 a=1a=1 时,对整数 nn 定义:若 2n≤x<2n+12n\le x<2n+1,则 f(x)=1f(x)=1;若 2n+1≤x<2n+22n+1\le x<2n+2,则 f(x)=12f(x)=\frac12。这些半开区间划分整个实轴,所以定义无歧义且 ff 非常数;同时它显然以 22 为周期。