输入状态只有两种,递推以确定方式交换它们:1↦121\mapsto\frac121↦21 与 12↦1\frac12\mapsto121↦1。因此检验这两个转移便完成了全部验证,半开区间也确保端点被正确处理。
若 f(x)=1f(x)=1f(x)=1,则 12+f(x)−f(x)2=12\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}=\frac1221+f(x)−f(x)2=21,且 x+1x+1x+1 落在下一个半开区间中,在那里 f(x+1)=12f(x+1)=\frac12f(x+1)=21。若 f(x)=12f(x)=\frac12f(x)=21,则 12+f(x)−f(x)2=12+14−14=1\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}=\frac12+\sqrt{\frac14-\frac14}=121+f(x)−f(x)2=21+41−41=1,且 x+1x+1x+1 落在下一个区间中,在那里 f(x+1)=1f(x+1)=1f(x+1)=1。因此所示递推式对每个实数 xxx 都成立。