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国际数学奥林匹克
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1968年
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第6题
第6题
记
[
x
]
[x]
[
x
]
为不超过
x
x
x
的最大整数。若
n
n
n
为正整数,求
[
n
+
1
2
]
+
[
n
+
2
4
]
+
[
n
+
4
8
]
+
⋯
[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots
[
2
n
+
1
]
+
[
4
n
+
2
]
+
[
8
n
+
4
]
+
⋯
关于
n
n
n
的表达式。
第 2/5 步：缩放恒等式
上一步
下一步
[
n
2
k
]
=
[
n
2
k
+
1
]
+
[
n
+
2
k
2
k
+
1
]
\left[\frac n{2^k}\right]=\left[\frac n{2^{k+1}}\right]+\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right]
[
2
k
n
]
=
[
2
k
+
1
n
]
+
[
2
k
+
1
n
+
2
k
]
详细分析
将恒等式应用于
x
=
n
/
2
k
x=n/2^k
x
=
n
/
2
k
,即对每个整数
k
≥
0
k\ge0
k
≥
0
得到上式。
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