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国际数学奥林匹克
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1968年
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第6题
第6题
记
[
x
]
[x]
[
x
]
为不超过
x
x
x
的最大整数。若
n
n
n
为正整数,求
[
n
+
1
2
]
+
[
n
+
2
4
]
+
[
n
+
4
8
]
+
⋯
[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots
[
2
n
+
1
]
+
[
4
n
+
2
]
+
[
8
n
+
4
]
+
⋯
关于
n
n
n
的表达式。
第 4/5 步：有限望远镜相消
上一步
下一步
∑
k
=
0
N
[
n
+
2
k
2
k
+
1
]
=
n
−
[
n
2
N
+
1
]
\sum_{k=0}^{N}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right]=n-\left[\frac n{2^{N+1}}\right]
k
=
0
∑
N
[
2
k
+
1
n
+
2
k
]
=
n
−
[
2
N
+
1
n
]
详细分析
从
k
=
0
k=0
k
=
0
到
N
N
N
求和,只剩首项
[
n
]
=
n
[n]=n
[
n
]
=
n
减去末项
[
n
/
2
N
+
1
]
[n/2^{N+1}]
[
n
/
2
N
+
1
]
。
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