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第2题

设a,b,n>1a,b,n>1为整数，a,ba,b是两个进位制的基。使用相同的数字xn,…,x0x_n,\ldots,x_0，其中xn≠0x_n\ne0且xn−1≠0x_{n-1}\ne0，在基数aa中定义An=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0，在基数bb中定义Bn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0。证明An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}当且仅当a>ba>b。
第 1/5 步：比较每个数字的权重
上一步下一步
通俗地说

较大的基数给更高位数字更大的权重。

a>bLongrightarrowanbkgebnakquad(0leklen)a>b\\Longrightarrow a^nb^k\\ge b^na^k\\quad(0\\le k\\le n)
详细分析

若 a>ba>b，则对每个 k≤nk\le n 有 an−k≥bn−ka^{n-k}\ge b^{n-k}。乘以正因子 akbka^kb^k 得所示不等式，k<nk<n 时严格。