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国际数学奥林匹克 · 1970年

试题

  1. 第1题设点MM在三角形ABCABC的边ABAB上。设r1,r2,rr_1,r_2,r分别为三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABC的内切圆半径；设q1,q2,qq_1,q_2,q分别为这些三角形位于角∠ACB\angle ACB内的旁切圆半径。证明r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rq。解法: 2
  2. 第2题设a,b,n>1a,b,n>1为整数，a,ba,b是两个进位制的基。使用相同的数字xn,…,x0x_n,\ldots,x_0，其中xn≠0x_n\ne0且xn−1≠0x_{n-1}\ne0，在基数aa中定义An=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0，在基数bb中定义Bn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0。证明An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}当且仅当a>ba>b。解法: 1
  3. 第3题设实数列满足1=a0≤a1≤a2≤⋯1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots。定义bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1akb_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}。(a)证明对所有nn都有0≤bn<20\le b_n<2。(b)给定任意bb满足0≤b<20\le b<2，证明存在这样的数列，使得bn>bb_n>b对无穷多个nn成立。解法: 1
  4. 第4题求所有正整数nn，使得集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}能分成两个不相交子集，且两边元素之积相等。解法: 2
  5. 第5题在四面体 ABCDABCD 中，∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ。从 DD 到平面 ABCABC 的垂足 HH 是 △ABC\triangle ABC 三条高的交点。证明 (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2)，并求等号成立的四面体。解法: 1
  6. 第6题平面上有 100100 个点，任意三点不共线。考虑顶点取自这些点的所有三角形。证明其中锐角三角形不超过 70%70\%。解法: 1