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第2题

设a,b,n>1a,b,n>1为整数，a,ba,b是两个进位制的基。使用相同的数字xn,…,x0x_n,\ldots,x_0，其中xn≠0x_n\ne0且xn−1≠0x_{n-1}\ne0，在基数aa中定义An=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0，在基数bb中定义Bn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0。证明An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}当且仅当a>ba>b。
第 2/5 步：对所有数字求和
上一步下一步
通俗地说

只要有一个更高位数字非零，总比较就严格。

anBn>bnAna^nB_n>b^nA_n
详细分析

将逐项不等式乘以 xk≥0x_k\ge0 后求和。由于 xn−1≠0x_{n-1}\ne0，k=n−1k=n-1 项严格，两个总和分别为 anBna^nB_n 和 bnAnb^nA_n。