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第2题

设a,b,n>1a,b,n>1为整数，a,ba,b是两个进位制的基。使用相同的数字xn,…,x0x_n,\ldots,x_0，其中xn≠0x_n\ne0且xn−1≠0x_{n-1}\ne0，在基数aa中定义An=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0，在基数bb中定义Bn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0、Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0。证明An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n}当且仅当a>ba>b。
第 4/5 步：还原截短数之比
上一步下一步
通俗地说

基数越大，首位数字所占比例越大，剩余部分比例越小。

fracAn−1An=1−fracxnanAn,quadfracBn−1Bn=1−fracxnbnBn\\frac{A_{n-1}}{A_n}=1-\\frac{x_na^n}{A_n},\\quad\\frac{B_{n-1}}{B_n}=1-\\frac{x_nb^n}{B_n}
详细分析

由An=xnan+An−1A_n=x_na^n+A_{n-1}、Bn=xnbn+Bn−1B_n=x_nb^n+B_{n-1}，乘以xn>0x_n>0后用11相减，不等号反向，得到目标比值。