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第3题

设实数列满足1=a0≤a1≤a2≤⋯1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots。定义bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1akb_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}。(a)证明对所有nn都有0≤bn<20\le b_n<2。(b)给定任意bb满足0≤b<20\le b<2，证明存在这样的数列，使得bn>bb_n>b对无穷多个nn成立。
第 1/5 步：改写每一项
上一步下一步
通俗地说

复杂分式其实就是宽乘高。

bn=sumk=1n(ak−ak−1)ak−3/2b_n=\\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}
详细分析

因为1−ak−1ak=ak−ak−1ak1-\frac{a_{k-1}}{a_k}=\frac{a_k-a_{k-1}}{a_k}，每项等于(ak−ak−1)ak−3/2(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}。