第3题

设实数列满足

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

。定义

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

。(a)证明对所有

n

都有

0\le b_n<2

。(b)给定任意

b

满足

0\le b<2

，证明存在这样的数列，使得

b_n>b

对无穷多个

n

成立。

第 2/5 步：解释为矩形

上一步下一步

通俗地说

递减曲线下的矩形使每一项都有直观含义。

[X_k]=(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}

曲线

f(x)=x^{-3/2}

下的6个右端点矩形

详细分析

令 $X_k$ 的底为 $[a_{k-1},a_k]$ 、高为 $a_k^{-3/2}$ 。因 $f(x)=x^{-3/2}$ 递减，矩形 $X_k$ 位于图像下方且内部互不重叠。因此 $b_n$ 是它们的面积和。