第3题

设实数列满足

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

。定义

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

。(a)证明对所有

n

都有

0\le b_n<2

。(b)给定任意

b

满足

0\le b<2

，证明存在这样的数列，使得

b_n>b

对无穷多个

n

成立。

第 3/5 步：用积分作上界

上一步下一步

通俗地说

总面积可以逼近 $2$ ，但在有限端点处达不到。

0\\le b_n<\\int_1^{a_n}x^{-3/2}dx=2-\\frac2{\\sqrt{a_n}}<2

详细分析

每项非负。矩形位于从 $1$ 到 $a_n$ 的 $f$ 图像下方，所以面积和小于积分；计算积分即得所示界。