第3题

设实数列满足

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

。定义

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

。(a)证明对所有

n

都有

0\le b_n<2

。(b)给定任意

b

满足

0\le b<2

，证明存在这样的数列，使得

b_n>b

对无穷多个

n

成立。

第 4/5 步：选择等差数列

上一步下一步

通俗地说

等距分点把和变成标准黎曼和。

a_k=1+k\\Delta x\\quad(\\Delta x>0)

详细分析

取 $a_k=1+k\Delta x$ ，则 $b_n$ 是 $\int_1^{a_n}x^{-3/2}dx$ 的右端点黎曼和；固定端点令 $\Delta x\to0^+$ ，它收敛到积分。