第3题

设实数列满足

1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots

。定义

b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}

。(a)证明对所有

n

都有

0\le b_n<2

。(b)给定任意

b

满足

0\le b<2

，证明存在这样的数列，使得

b_n>b

对无穷多个

n

成立。

第 5/5 步：达到任意低于

2

的目标

上一步下一步

通俗地说

区间变长使面积逼近 $2$ ，网格变细使和逼近积分。

\\lim_{n\\to\\infty}\\left(2-\\frac2{\\sqrt{1+n\\Delta x}}\\right)=2

详细分析

固定小的 $\Delta x>0$ 时， $n\to\infty$ 使积分趋于 $2$ 。给定 $b<2$ ，先取足够大的 $n$ 使积分超过 $b$ ，再取足够细的网格使黎曼和仍满足 $b_n>b$ ；故有无穷多个 $n$ 。