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第5题

在四面体 ABCDABCD 中，∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ。从 DD 到平面 ABCABC 的垂足 HH 是 △ABC\triangle ABC 三条高的交点。证明 (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2)，并求等号成立的四面体。
第 2/4 步：推出其余直角
上一步下一步
BC2=BD2+CD2  ⟹  CE2=DE2+CD2  ⟹  ∠CDE=90∘BC^2=BD^2+CD^2\implies CE^2=DE^2+CD^2\implies \angle CDE=90^\circ
详细分析

已知 BDCBDC 为直角，故 BC2=BD2+CD2BC^2=BD^2+CD^2。与前一等式比较得 CE2=DE2+CD2CE^2=DE^2+CD^2，所以 CDECDE 为直角。由于 CDBCDB 也是直角，CDCD 垂直于平面 DAB 内相交的 DBDB、DEDE，故 CD⊥CD\perp 平面 DAB，从而 CDACDA 为直角。类似地 ADBADB 也为直角。