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第5题

在四面体 ABCDABCD 中，∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ。从 DD 到平面 ABCABC 的垂足 HH 是 △ABC\triangle ABC 三条高的交点。证明 (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2)，并求等号成立的四面体。
第 3/4 步：相加三个勾股恒等式
上一步下一步
AB2+BC2+CA2=2(AD2+BD2+CD2)AB^2+BC^2+CA^2=2(AD^2+BD^2+CD^2)
详细分析

直角 ADBADB、BDCBDC、CDACDA 分别给出 AB2=AD2+BD2AB^2=AD^2+BD^2、BC2=BD2+CD2BC^2=BD^2+CD^2、CA2=CD2+AD2CA^2=CD^2+AD^2。相加得到 AB2+BC2+CA2=2(AD2+BD2+CD2)AB^2+BC^2+CA^2=2(AD^2+BD^2+CD^2)。