第1题

证明下述断言在

n=3

和

n=5

时成立，而对其他所有自然数

n>2

都不成立：对任意实数

a_1,a_2,\ldots,a_n

，

(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0

。

第 1/6 步：排除所有偶数 n

E_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(a_i-a_j),\qquad a_1<0,\ a_2=\cdots=a_n=0\implies E_n=a_1^{n-1}<0

详细分析

将表达式写为 $E_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(a_i-a_j)$ 。当 $n$ 为偶数时取 $a_1<0$ ， $a_2=\cdots=a_n=0$ 。除第一项外各项含有重复的零差而为零，且 $n-1$ 为奇数，所以 $E_n=a_1^{n-1}<0$ 。