国际数学奥林匹克 · 1971年

试题

第1题证明下述断言在 $n=3$ 和 $n=5$ 时成立，而对其他所有自然数 $n>2$ 都不成立：对任意实数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ， $(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0$ 。解法: 1
第2题设凸多面体 $P_1$ 有九个顶点 $A_1,A_2,\ldots,A_9$ 。令 $P_i$ 为把 $A_1$ 平移到 $A_i$ 所得的 $P_1$ 的像（ $i=2,3,\ldots,9$ ）。证明 $P_1,P_2,\ldots,P_9$ 中至少有两个具有公共内点。解法: 1
第3题证明形如 $2^k-3$ （ $k=2,3,\ldots$ ）的整数集合含有一个无限子集，其中任意两个成员互质。解法: 1
第4题四面体 $ABCD$ 的所有面都是锐角三角形。考虑闭折线 $XYZTX$ ，其中 $X$ 在 $AB$ 内部， $Y,Z,T$ 分别在 $BC,CD,DA$ 内部。证明：(a) 若 $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ ，则不存在达到最小长度的路径；(b) 若 $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ ，则存在无穷多条最短路径，其共同长度为 $2AC\sin(\alpha/2)$ ，其中 $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ 。解法: 1
第5题证明对每个自然数 $m$ ，平面上存在一个有限点集 $S$ ，使得集合 $S$ 中每个点 $A$ 恰有 $m$ 个点与其距离为1。集合 $S$ 的每个点 $A$ 都满足此性质。解法: 1
第6题设 $A=(a_{ij})$ （ $i,j=1,2,\ldots,n$ ）是元素为非负整数的方阵。假设只要 $a_{ij}=0$ ，第 $i$ 行与第 $j$ 列元素之和就至少为 $n$ 。证明矩阵所有元素之和至少为 $n^2/2$ 。解法: 1