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第1题

证明下述断言在 n=3n=3 和 n=5n=5 时成立,而对其他所有自然数 n>2n>2 都不成立:对任意实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n,(a1−a2)(a1−a3)⋯(a1−an)+(a2−a1)(a2−a3)⋯(a2−an)+⋯+(an−a1)(an−a2)⋯(an−an−1)≥0(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0。
第 2/6 步:排除不小于7的奇数 n
c>a>b,a1=a, a2=a3=a4=b, a5=⋯=an=c  ⟹  En=(a−b)3(a−c)n−4<0c>a>b,\quad a_1=a,\ a_2=a_3=a_4=b,\ a_5=\cdots=a_n=c\implies E_n=(a-b)^3(a-c)^{n-4}<0
详细分析

当 n 为奇数且 n≥7n\ge7 时,取 c>a>bc>a>b,令 a1=aa_1=a,a2=a3=a4=ba_2=a_3=a_4=b,a5=⋯=an=ca_5=\cdots=a_n=c。重复值使第一项以外全为零,故 En=(a−b)3(a−c)n−4E_n=(a-b)^3(a-c)^{n-4}。由于 n−4n-4 为奇数,该值为负。