第1题

证明下述断言在

n=3

和

n=5

时成立，而对其他所有自然数

n>2

都不成立：对任意实数

a_1,a_2,\ldots,a_n

，

(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0

。

第 4/6 步：分组 n=5 的前两项

(a_1-a_2)[(a_1-a_3)(a_1-a_4)(a_1-a_5)-(a_2-a_3)(a_2-a_4)(a_2-a_5)]\ge0

详细分析

当 $n=5$ 时令 $a_1\ge a_2\ge a_3\ge a_4\ge a_5$ 。前两项之和为所示乘积。因子 $a_1-a_2$ 非负，且第一个三因子乘积中的每个因子都不小于第二个中的对应因子，故该和非负。