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第1题

证明下述断言在 n=3n=3 和 n=5n=5 时成立，而对其他所有自然数 n>2n>2 都不成立：对任意实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n，(a1−a2)(a1−a3)⋯(a1−an)+(a2−a1)(a2−a3)⋯(a2−an)+⋯+(an−a1)(an−a2)⋯(an−an−1)≥0(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0。
第 6/6 步：分组最后两项并得出结论
上一步下一步
(a4−a5)[(a1−a5)(a2−a5)(a3−a5)−(a1−a4)(a2−a4)(a3−a4)]≥0(a_4-a_5)[(a_1-a_5)(a_2-a_5)(a_3-a_5)-(a_1-a_4)(a_2-a_4)(a_3-a_4)]\ge0
详细分析

最后两项之和等于所示表达式。由于 a4−a5≥0a_4-a_5\ge0，且第一个三因子乘积中的每个因子都不小于第二个中的对应因子，故该和非负。结合前面的分组得 E5≥0E_5\ge0。所以断言恰在 n=3n=3 和 n=5n=5 时成立。