MathLabs

第2题

设凸多面体 P1P_1 有九个顶点 A1,A2,…,A9A_1,A_2,\ldots,A_9。令 PiP_i 为把 A1A_1 平移到 AiA_i 所得的 P1P_1 的像（i=2,3,…,9i=2,3,\ldots,9）。证明 P1,P2,…,P9P_1,P_2,\ldots,P_9 中至少有两个具有公共内点。
第 2/4 步：利用凸性控制和
上一步下一步
p,q∈P1  ⟹  p+q2∈P1  ⟹  p+q∈2P1p,q\in P_1\implies \frac{p+q}{2}\in P_1\implies p+q\in2P_1
详细分析

对任意 p,q∈P1p,q\in P_1，由凸性 (p+q)/2∈P1(p+q)/2\in P_1。因此 p+q∈2P1p+q\in2P_1，其中 2P1={2x:x∈P1}2P_1=\{2x:x\in P_1\} 表示以原点为中心、倍数为 22 的伸缩。其中 P1P_1 是所考虑的多面体。