MathLabs

第2题

设凸多面体 P1P_1 有九个顶点 A1,A2,…,A9A_1,A_2,\ldots,A_9。令 PiP_i 为把 A1A_1 平移到 AiA_i 所得的 P1P_1 的像(i=2,3,…,9i=2,3,\ldots,9)。证明 P1,P2,…,P9P_1,P_2,\ldots,P_9 中至少有两个具有公共内点。
第 3/4 步:将每个平移体包含于 2P_1
Ai∈P1, x∈P1  ⟹  Ai+x∈2P1  ⟹  Pi⊆2P1A_i\in P_1,\ x\in P_1\implies A_i+x\in2P_1\implies P_i\subseteq2P_1
详细分析

每个 AiA_i 都是 P1P_1 的顶点,故 Ai∈P1A_i\in P_1。对任意 x∈P1x\in P_1,Ai+xA_i+x 是 P1P_1 中两点之和,属于 2P12P_1。因 Pi=Ai+P1P_i=A_i+P_1,所以九个平移体均满足 Pi⊆2P1P_i\subseteq2P_1。