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第3题

证明形如 2k−32^k-3（k=2,3,…k=2,3,\ldots）的整数集合含有一个无限子集，其中任意两个成员互质。
第 3/5 步：将所有旧素因子传递到新一步
上一步下一步
p∣Ak, k<n  ⟹  p−1∣an  ⟹  p∣2an−1p\mid A_k,\ k<n\implies p-1\mid a_n\implies p\mid 2^{a_n}-1
详细分析

若素数 pp 整除某个旧项 AkA_k，则在下一步构造中它给指数贡献因子 p−1p-1，所以对所有 n>kn>k 都有 p−1p-1 整除 ana_n。写成 an=b(p−1)a_n=b(p-1)。由费马小定理 2p−1≡1(modp)2^{p-1}\equiv1\pmod p，得到 p∣2an−1=An+2p\mid2^{a_n}-1=A_n+2。