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第4题

四面体 ABCDABCD 的所有面都是锐角三角形。考虑闭折线 XYZTXXYZTX，其中 XX 在 ABAB 内部，Y,Z,TY,Z,T 分别在 BC,CD,DABC,CD,DA 内部。证明：(a) 若 ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC，则不存在达到最小长度的路径；(b) 若 ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC，则存在无穷多条最短路径，其共同长度为 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2)，其中 α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。
第 2/5 步：不平行副本没有最小值
上一步下一步
CD∦C′D′  ⟹  inf⁡ZZ′=DD′, unattained for Z∈(CD)CD\not\parallel C'D'\implies \inf ZZ'=DD'\text{, unattained for }Z\in(CD)
详细分析

采用绕 BCBC、ABAB、AD′AD' 的另一种展开，路径成为连接 Z∈(CD)Z\in(CD) 与其像 Z′∈(C′D′)Z'\in(C'D') 的线段 ZZ′ZZ'。当 CDCD 与 C′D′C'D' 不平行时，两个闭支撑线段间最短段在端点 D,D′D,D' 处取得。但 ZZ 与 Z′Z' 必须是内部点，所以这只是 Z→DZ\to D 时的极限，没有合法路径达到最小值。