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第4题

四面体 ABCDABCD 的所有面都是锐角三角形。考虑闭折线 XYZTXXYZTX，其中 XX 在 ABAB 内部，Y,Z,TY,Z,T 分别在 BC,CD,DABC,CD,DA 内部。证明：(a) 若 ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC，则不存在达到最小长度的路径；(b) 若 ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC，则存在无穷多条最短路径，其共同长度为 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2)，其中 α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。
第 3/5 步：将平行性与角条件联系起来
上一步下一步
CD∥C′D′⟺∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABCCD\parallel C'D'\Longleftrightarrow \angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC
详细分析

在展开图中取 M,N,PM,N,P 使 CD∥MB∥AN∥PD′CD\parallel MB\parallel AN\parallel PD'。沿这些平行线分解并比较四个角，所给角等式化为 ∠C′D′P=0\angle C'D'P=0。因此该等式当且仅当 CD∥C′D′CD\parallel C'D' 时成立。