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第4题

四面体 ABCDABCD 的所有面都是锐角三角形。考虑闭折线 XYZTXXYZTX，其中 XX 在 ABAB 内部，Y,Z,TY,Z,T 分别在 BC,CD,DABC,CD,DA 内部。证明：(a) 若 ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC，则不存在达到最小长度的路径；(b) 若 ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC，则存在无穷多条最短路径，其共同长度为 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2)，其中 α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。
第 4/5 步：得到无穷多条等长最短路径
上一步下一步
CD∥C′D′  ⟹  CC′∥ZZ′∥DD′CD\parallel C'D'\implies CC'\parallel ZZ'\parallel DD'
详细分析

若两副本平行，则 CC′∥ZZ′∥DD′CC'\parallel ZZ'\parallel DD'。所有面为锐角的假设保证，对于 CDCD 内部点的一个非空区间中的每个 ZZ，平行线段 ZZ′ZZ' 都与中间边 CBCB、BABA、AD′AD' 相交。因此有无穷多条合法路径达到同一最小长度。