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第4题

四面体 ABCDABCD 的所有面都是锐角三角形。考虑闭折线 XYZTXXYZTX，其中 XX 在 ABAB 内部，Y,Z,TY,Z,T 分别在 BC,CD,DABC,CD,DA 内部。证明：(a) 若 ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC，则不存在达到最小长度的路径；(b) 若 ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC，则存在无穷多条最短路径，其共同长度为 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2)，其中 α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。
第 5/5 步：计算共同长度
上一步下一步
CC′=2ACsin⁡(α/2),α=∠BAC+∠CAD+∠DABCC'=2AC\sin(\alpha/2),\qquad \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB
详细分析

在展开图中，A,C,C′A,C,C' 构成等腰三角形，AC=AC′AC=AC'，顶点A的顶角为 α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB。从 AA 向底边 CC′CC' 的垂线平分底边，故半底边长为 ACsin⁡(α/2)AC\sin(\alpha/2)。所以从 AA 出发的每条最短路径长度均为 ZZ′=CC′=2ACsin⁡(α/2)ZZ'=CC'=2AC\sin(\alpha/2)。