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第5题

证明对每个自然数 mm，平面上存在一个有限点集 SS，使得集合 SS 中每个点 AA 恰有 mm 个点与其距离为1。集合 SS 的每个点 AA 都满足此性质。
第 3/6 步：选择旋转使所有和互异
上一步下一步
a+eiθb≠c+eiθd((a,b)≠(c,d))a+e^{i\theta}b\ne c+e^{i\theta}d\quad((a,b)\ne(c,d))
详细分析

不同有序对 (a,b),(c,d)(a,b),(c,d) 只有有限多个。每个等式 a+eiθb=c+eiθda+e^{i\theta}b=c+e^{i\theta}d 只排除有限多个 θ\theta（除非两对完全相同）。在这个有限集合之外取 θ\theta，则 UU 恰有 ∣S∣∣T∣|S||T| 个不同点。